圆周角定理圆周角定理推论

圆周角定理圆周角定理推论

圆周角定理是什么？圆周角定理推论？圆周角定理指的是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。

这一定理叫做圆周角定理。

该定理反映的是圆周角与圆心角的关系。

1、《圆周角的概念和圆周角定理》备课教案一等奖教材分析 1本节课是在圆的基本概念和性质以及圆心角概念和性质的基础上，对圆周角性质的探索。

2.圆周角性质在圆的有关说理、作图、计算中有着广泛的应用，在对圆与其他平面图形的研究中起着桥梁和纽带的作用。

学情分析九年级的学生虽然已具备一定的说理能力，但逻辑推理能力仍不强，根据数学的认知规律，数学思想的'学习不可能一步到位，应当逐步递进、螺旋上升。

在具体的问题情境下，引导学生采用动手实践、自主探究、合作交流的学习方法进行学习，充分发挥其主体的积极作用，使学生在观察、实践、问题转化等数学活动中充分体验探索的快乐，发挥潜能，使知识和能力得到内化，体现主动获取，落实双基，发展能力的原则。

教学目标（1）知识目标： 1、理解圆周角的概念。

2、经历探索圆周角与它所对的弧的关系的过程，了解并证明圆周角定理及其推论。

3、有机渗透由特殊到一般、分类、化归等数学思想方法。

（2）能力目标：引导学生从形象思维向理性思维过渡，有意识地强化学生的推理能力，培养学生的实践能力与创新能力，提高数学素养。

（3）情感、态度与价值观的目标： 1、创设生活情境激发学生对数学的好奇心、求知欲，营造民主和谐的课堂氛围，让学生在愉快的学习中不断获得成功的体验。

2、培养学生以严谨求实的态度思考数学。

教学重点和难点探索并证明圆周角与它所对的弧的关系是本课时的重点。

用分类、化归思想合情推理验证圆周角与它所对的弧的关系是本课时的难点。

2、圆周角定理的教学反思我国是最早了解勾股定理的'国家之一。

早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾（短直角边）等于三，股（长直角边）等于四，那么弦等于五。

即勾三、股四、弦五。

它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，在这本书的另一处，还记载了勾股定理的一般形式。

中国古代的几何学家研究几何是为了实用，是唯用是尚的。

在勾股定理教学中反思如下：一转变师生角色，让学生自主学习。

由同学们的作图，我们发现有的直角三角形的三边具有这种关系，有的直角三角形不具有这种性质。

当然作图存在着误差。

可仍然证明不了我们的猜想是否正确。

下面我们用拼图的方法再来验证一下。

请同学们拿出准备好的直角三角形和正方形，利用拼图和面积计算来证明a2+b2=c2（学生分组讨论。

）学生展示拼图方法，课件辅助演示。

新课标下要求教师个人素质越来越高，教师自身要不断及时地学习新知识，接受新信息，对自己及时充电、更新，而且要具有诙谐幽默的语言表达能力。

既要有领导者的组织指导能力，更重要的是要有被学生欣赏佩服的魅力，只有学生配合你，信任你，喜欢你，教师才能轻松驾御课堂，做到应付自如，高效率完成教学目标。

教师教，学生听，教师问，学生答，教室出题，学生做的传统教学摸模式，已严重阻阻碍了现代教育的发展。

这种教育模式，不但无法培养学生的实践能力，而且会造成机械的学习知识，形成懒惰、空洞的学习态度，形成数学的呆子，就像有的大学毕业生都不知道1平方米到底有多大？因此，新课标要求老师一定要改变角色，变主角为配角，把主动权交给学生，让学生提出问题，动手操作，小组讨论，合作交流，把学生想到的，想说的想法和认识都让他们尽情地表达，然后教师再进行点评与引导，这样做会有许多意外的收获，而且能充分发挥挖掘每个学生的潜能，久而久之，学生的综合能力就会与日剧增。

数学的创造性不能没有逻辑思维，学习数学可以帮助养成理性思考的习惯。

数学并不是公式的堆垒，也不是图形的汇集，数学有逻辑性很强的体系。

数学不是只强调计算与规则的课程，而是讲道理的课程。

培养与运用逻辑思维，并不是不顾及学生的可接受性一味地片面强调推理的严密和体系的完整，而是既要体现逻辑推理的作用，又不片面夸大它。

几何的教学体系有别于几何的科学体系，在几何教学中，讲道理并完全不等同于纯粹的形式证明，几何教学培养逻辑思维能力同样要有的放矢，循序渐进，从直观到抽象，从简单到复杂？？二转变教学方式，让学生探索、研究、体会学习过程。

学生学会了数学知识，却不会解决与之有关的实际问题，造成了知识学习和知识应用的脱节，感受不到数学与生活的联系，这是当今课堂教学存在的普遍问题，对于学生实践能力的培养非常不利的。

现在的数学教学到处充斥着过量的、重复的、不断循环的、人为挖掘的训练。

学习的过程性： 1.关注学生是否积极参加探索勾股定理的活动，关注学生能否在活动中积思考，能够探索出解决问题的方法，能否进行积极的联想（数形结合）以及学生能否有条理的表达活动过程和所获得的结论等； 2.关注学生的拼图过程，鼓励学生结合自己所拼得的正方形验证勾股定理。

学习的知识性：掌握勾股定理，体会数形结合的思想。

试一试：我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺。

如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面。

请问这个水池的深度和芦苇的长度各是多少？新课标对几何内容的安排。

安排采取了首先是直观和经验，接着是说理与抽象，最后是演绎的方案。

以直线形为例，先借助直观认识一个直线形，进而借助多种手段合乎情理地发现它的某种几何性质，接着通过演绎推理把这个性质搞定。

看上去，强化了直观和实验，弱化了推理，实际上，在这里直观和推理两者都很重要，而且两者之间互为支撑，有互逆的性质。

让直观几何和推理几何并重，把发现和证明绑在一起，与传统的几何课程体系确有不同。

说到几何，新课标对几何的重视程度丝毫没有减弱，而是在加强。

例如直观和实验几何的触角已经伸向了小学低年级，同时欧氏几何的体系和内容差不多还是完整呈现。

如果说有所弱化，就是具体要求降低了，这种降低主要体现在两个方面，一个是对推理几何的难度要求有所限制，另外是弱化了相似形和圆（包括圆与直线之间的关系）这块内容的证明部分。

教材内容的丰富，充分激发了学生的学习积极性。

教材编排了一些游戏性的智力题，引导学生发现数学规律，探索数学世界的奥秘，采用阅读一些数学小故事和数学发展史，丰富学生的数学知识和对世界数学文化的了解，充分激发了学生继续学习数学和发展数学的积极性，把生活中的实物抽象成几何图形，让学生了解丰富变幻的图形世界，培养了学生抽象思维能力，特别侧重于培养学生认识事物，探索问题，解决实际的能力。

让学生感兴趣且愿意学，并且接受知识是循序渐进的过程，随着数学知识的不断学习，也使学生亲身体会到了学习数学的重要意义：我们的生活中处处离不开数学，处处需要数学，学习数学也是非常有意思的。

三提高教学科技含量，充分利用多媒体。

几何图形可以直观地表示出来，人们认识图形的初级阶段中主要依靠形象思维。

远古时期人们对几何图形的认识始于观察、测量、比较等直观实验手段，现代儿童认识几何图形亦如此，人们可以通过直观实验了解几何图形，发现其中的规律。

然而，因为几何图形本身具有抽象性和一般性，一种几何概念可能包含无限多种不同的情形，例如有无数种形状不同的三角形。

对一种几何概念所包含的一部分具体对象进行直观实验所得到的认识，一定适合其他情况验回答不了的问题。

因此，一般地，研究图形的形状、大小和位置。

培养逻辑推理能力，作了认真的考虑和精心的设计，把推理证明作为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续。

在这套教科书的几何部分，七年级上、下两册要先后经历说点儿理说理简单推理几个层次，有意识地逐步强化关于推理的初步训练，主要做法是在问题的分析中强调求解过程所依据的道理，体现事出有因、言之有据的思维习惯。

由于信息技术的发展与普及，直观实验手段在教学中日益增加，有些学校还建立了数学实验室，这些对于几何学的学习起到积极作用。

随着教学研究的不断深入，直观实验会在启发诱导、化难为易、检验猜想等方面进一步大显身手。

但是，直观实验终归是数学学习的辅助手段，数学毕竟不是实验科学，它不能象物理、化学、生物等学科那样最后通过实验来确定结论。

实验几何只是学习几何学的前奏曲或第一乐章，后面的乐曲建立在理性思维基础上，逻辑推理是把演奏推向高潮的主要手段。

四转变评价手段，让每个学生找到学习数学的自信。

评价就其实质来讲，乃是一种监控机制。

这种反馈监控机制包括"他律"与"自律"两个方面。

所谓"他律"是以他人评价为基础的，"自律"是以自我评价为基础的。

每个人素质生成都经历着一个从"他律"到"自律"的发展过程，经历着一个从学会评价他人到学会评价自己的发展过程。

实施他人评价，完善素质发展的他人监控机制很有必要。

每个人都要以他人为镜，从他人这面镜子中照见自我。

但发展的成熟、素质的完善主要建立在自律的基础上，是以素质的自我评价、自我调节、自我教育为标志的。

因此要改变单纯由教师评价的现状，提倡评价主体的多元化，把教师评价、同学评价、家长评价及学生的自评相结合。

尤其要突出学生的自评，提高他们的自我认识、自我调节、自我评价的能力，增强反思意识，培养健康的心理。

注重数学与生活的联系，从学生认知规律和接受水平出发，这些理念贯彻到教材与课堂教学当中，很好地激发了学生学习数学的兴趣。

学生们善于提出问题、敢于提出问题、解决问题的能力强，已经成为数学新课标下学生表现的一个标志。

通过学习几何可以认识丰富多彩的几何图形，建立与发展空间观念，掌握必要的几何知识，培养运用这些知识认识世界与改造世界的能力。

但是，这些并不是几何学的全部教育功能。

从更深层次看，学习几何学的一个重要的作用是：以几何图形为载体，培养逻辑思维能力，提高理性思维水平。

这正是自古希腊开始几何教学一直倍受重视的主要原因。

从实际需要看，一个普通人一生中运用几何知识的时间、场合，要比他应该运用逻辑思维的时间、场合少得多。

前者在特定的环境下发生，而后者经常地、普遍地出现，它的作用远比前者大得多。

一个人学过几何后，如果不继续从事与数学关系密切的学习或工作，他一生中有可能很少甚至不会用到在某个几何定理，但是他肯定应该经常不断地在不同程度上使用逻辑推理来分析问题。

当然，其他课程也可以培养学生的逻辑思维能力，学习几何学并不是实现此目的之唯一途径。

但是，长期以来几何学被普遍认为是适合培养逻辑思维能力的绝好课程是客观事实。

形成这种状况的原因主要有：几何学的历史悠久，学科体系成熟；几何学体系的逻辑性特点格外突出；几何学的研究对象是几何图形，结合几何图形，利用图形语言，在一定程度上可以降低认识和理解逻辑推理的难度。

按照人的一般认知规律，认识几何图形的过程，也是从具体到抽象，从简单到复杂，从特殊到一般，从感性到理性的过程。

根据教育心理学的规律可知，初中学生多处于认识方法发生升华的阶段，他们对事物的认识已不满足于表面的、孤立的层次，而有了向更深层次发展的要求，即向往由此及彼，由表及里的思维方式。

从几何教学的内容看，学生们从小学开始已经通过直观实验这种主要方式学习了基础的图形知识，在他们的头脑中已经积累了一定的关于图形的感性认识，在初中阶段应该更深入地在为什么的层面上认识图形。

显然，单纯的直观实验这种学习方式已经不适应继续深入学习的需要，因为这种方式难以真正从道理上对图形规律进行解释，而逻辑推理的方式才能担此重任。

因此，从实验几何向推理几何的过渡成为初中几何教学必须面对的问题，培养逻辑推理能力成为初中几何教学必须实现的教学目标。

认识几何图形既需要形象思维，又需要抽象思维，两者相辅相成。

虽然我们强调几何教学中逻辑推理的重要性，但是并不排斥直观实验。

直观实验是初级认识手段，逻辑推理是高级认识手段。

看一看量一量做一做等直观实验活动在几何学习的初始阶段的重要性尤为突出，即使在推理几何阶段的学习中，直观实验也具有重要的辅助作用，人们常借助某些直观特例来发现一般规律、探寻证明思路、理解抽象内容，有时直观实验与逻辑推理是交替进行的。

让学生享受数学的有趣：可利用愉快的游戏、生动的故事、激烈的竞赛、入境的表演、热情的掌声等创设出一种愉悦的学习情境，诱发学生的学习情趣；让学生时常感受到数学真奇妙！，从而产生我也想试一试！的心理。

让学生享受数学的有用：借助生活情境，让学生寻找有关的数学问题，使学生体会到我们的生活中蕴涵着丰富的数学问题，感受数学学习在生活中的作用。

让学生享受数学的精彩：创设一切机会让学生学会思考，乐于思考、善于思考，只有这样，数学才能展示其精彩的一面；在教学中可有意识地安排一些问题让学生多途径思考，发现答案有多种多样；让他们体味出更多的精彩！享受数学的成功：教育教学的本质就是帮助学生成功。

一次成功的机会却可以十倍地增强学生的信心；因此，课堂上教师应毫不吝啬自己鼓励的眼神、赞许的话语，批改作业时尽量少一些令人生厌的×，可以写上再算算。

3、圆周角定理的教学反思本节课是人教版数学八年级下册第十七章第一节第二课时的内容，是学生在学习了三角形的有关知识，了解了直角三角形的概念，掌握了直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件的基础上学习勾股定理，加深对勾股定理的理解，提高学生对数形结合的应用与理解，勾股定理的应用的教学反思（郑茹）。

本节第一课时安排了对勾股定理的观察、计算、猜想、证明及简单应用的过程；第二课时是通过例题分析与讲解，让学生感受勾股定理在实际生活中的应用，通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，强化转化思想，培养学生解决问题的意识和应用能力。

针对本班学生的特点，学生知识水平、学习能力的差距，本节课安排了如下几个环节：一、复习引入对上节课勾股定理内容进行回顾，强调易错点。

由于学生的注意力集中时间较短，学生知识水平低，引入内容简短明了，花费时间短。

二、例题讲解，巩固练习，总结数学思想方法活动一：用对媒体展示搬运工搬木板的问题，让学生以小组交流合作，如何将木板运进门内？需要知道们的宽、高，还是其他的条件？学生展示交流结果，之后教师引导学生书写板书，教学反思《勾股定理的应用的教学反思（郑茹）》。

整个活动以学生为主体，教师及时的引导和强调。

活动二：解决例二梯子滑落的问题。

学生自主讨论解决问题，书写过程，之后投影学生书写过程，教师与学生一起合作修改解题过程。

活动三：学生讨论总结如何将实际生活中的问题转化为数学问题，然后利用勾股定理解决问题。

利用勾股定理的前提是什么？如何作辅助线构造这一前提条件？在数学活动中发展了学生的探究意识和合作交流的习惯；体会勾股定理的应用价值，让学生体会到数学来源于生活，又应用到生活中去，在学习的过程中体会获得成功的喜悦，提高了学生学习数学的兴趣和信心。

三、巩固练习，熟练新知通过测量旗杆活动，发展学生的探究意识，培养学生动手操作的能力，增加学生应用数学知识解决实际问题的经验和感受。

在教学设计的实施中，也存在着一些问题： 1.由于本班学生能力的差距，本想着通过学生帮带活动，使学困生充分参与课堂，但在学生合作交流是由于学习能力强的学生，对问题的分析解决所用时间短，而在整个环节设计中转接的快，未给学困生充分的时间，导致部分学生未能真正的参与到课堂中来。

2.课堂上质疑追问要起到好处，不要增加学生展示的难度，影响展示进程出现中断或偏离主题的现象。

3.对学生课堂展示的评价方式应体现生评生，师评生，及评价的针对性和及时性。

4、圆周角教案教学目标：（1）理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；（2）继续培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力；（3）渗透由特殊到一般，由一般到特殊的数学思想方法。

教学重点：圆周角的概念和圆周角定理教学难点：圆周角定理的证明中由一般到特殊的数学思想方法和完全归纳法的数学思想。

教学活动设计：（在教师指导下完成）（一）圆周角的概念 1、复习提问：（1）什么是圆心角？答：顶点在圆心的角叫圆心角。

（2）圆心角的度数定理是什么？答：圆心角的度数等于它所对弧的度数。

（如右图） 2、引题圆周角：如果顶点不在圆心而在圆上，则得到如左图的新的角∠ACB，它就是圆周角。

（如右图）（演示图形，提出圆周角的定义）定义：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角 3、概念辨析：教材P93中1题：判断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由。

学生归纳：一个角是圆周角的条件：①顶点在圆上；②两边都和圆相交。

（二）圆周角的定理 1、提出圆周角的度数问题问题：圆周角的度数与什么有关系？经过电脑演示图形，让学生观察图形、分析圆周角与圆心角，猜想它们有无关系。

引导学生在建立关系时注意弧所对的圆周角的三种情况：圆心在圆周角的一边上、圆心在圆周角内部、圆心在圆周角外部。

（在教师引导下完成）（1）当圆心在圆周角的一边上时，圆周角与相应的圆心角的关系：（演示图形）观察得知圆心在圆周角上时，圆周角是圆心角的一半。

提出必须用严格的数学方法去证明。

证明：（圆心在圆周角上）（2）其它情况，圆周角与相应圆心角的关系：当圆心在圆周角外部时（或在圆周角内部时）引导学生作辅助线将问题转化成圆心在圆周角一边上的情况，从而运用前面的结论，得出这时圆周角仍然等于相应的圆心角的结论。

证明：作出过C的直径（略）圆周角定理：一条弧所对的周角等于它所对圆心角的一半。

说明：这个定理的证明我们分成三种情况。

这体现了数学中的分类方法；在证明中，后两种都化成了第一种情况，这体现数学中的化归思想。

（对A层学生渗透完全归纳法）（三）定理的应用 1、例题：如图OA、OB、OC都是圆O的半径，∠AOB=2∠BOC。

求证：∠ACB=2∠BAC 让学生自主分析、解得，教师规范推理过程。

说明：①推理要严密；②符号应用要严格，教师要讲清。

2、巩固练习：（1）如图，已知圆心角∠AOB=100°，求圆周角∠ACB、∠ADB的度数？（2）一条弦分圆为1：4两部分，求这弦所对的圆周角的度数？说明：一条弧所对的圆周角有无数多个，却这条弧所对的圆周角的度数只有一个，但一条弦所对的圆周角的度数只有两个。

（四）总结知识：（1）圆周角定义及其两个特征；（2）圆周角定理的内容。

思想方法：一种方法和一种思想：在证明中，运用了数学中的分类方法和化归思想。

分类时应作到不重不漏；化归思想是将复杂的问题转化成一系列的简单问题或已证问题。

（五）作业教材P100中习题A组6.7.8 5、圆周角教案教材分析 1本节课是在圆的基本概念和性质以及圆心角概念和性质的基础上，对圆周角性质的探索。

2.圆周角性质在圆的有关说理、作图、计算中有着广泛的应用，在对圆与其他平面图形的研究中起着桥梁和纽带的作用。

学情分析九年级的学生虽然已具备一定的说理能力，但逻辑推理能力仍不强，根据数学的认知规律，数学思想的学习不可能一步到位，应当逐步递进、螺旋上升。

教学目标（1）知识目标： 1、理解圆周角的概念。

2、经历探索圆周角与它所对的弧的关系的过程，了解并证明圆周角定理及其推论。

3、有机渗透由特殊到一般、分类、化归等数学思想方法。

（2）能力目标：引导学生从形象思维向理性思维过渡，有意识地强化学生的推理能力，培养学生的实践能力与创新能力，提高数学素养。

2、培养学生以严谨求实的态度思考数学。

教学重点和难点探索并证明圆周角与它所对的弧的关系是本课时的重点。

用分类、化归思想合情推理验证圆周角与它所对的弧的关系是本课时的难点。

6、圆周角教案教学任务分析教学目标知识技能 1.了解圆周角与圆心角的关系。

2.掌握圆周角的性质和直径所对圆周角的特征。

3.能运用圆周角的性质解决问题。

数学思考 1.通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力。

2.通过观察图形，提高学生的识图能力。

3.通过引导学生添加合理的辅助线，培养学生的创造力。

解决问题在探索圆周角与圆心角的关系的过程中，学会运用分类讨论的数学思想，转化的数学思想解决问题情感态度引导学生对图形的观察，发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。

重点圆周角与圆心角的关系，圆周角的性质和直径所对圆周角的特征。

难点发现并论证圆周角定理。

教学流程安排活动流程图活动内容和目的活动1 创设情景，提出问题活动2 探索同弧所对的圆心角与圆周角的关系，同弧所对的圆周角之间的关系活动3 发现并证明圆周角定理活动4 圆周角定理应用活动5 小结，布置作业从实例提出问题，给出圆周角的定义。

通过实例观察、发现圆周角的特点，利用度量工具，探索同弧所对的圆心角与圆周角的关系，同弧所对的圆周角之间的关系。

探索圆心与圆周角的位置关系，利用分类讨论的数学思想证明圆周角定理。

反馈练习，加深对圆周角定理的理解和应用。

回顾梳理，从知识和能力方面总结本节课所学到的东西。

教学过程设计问题与情境师生行为设计意图 [活动1 ] 问题演示课件或图片（教科书图24.1）：（1）如图：同学甲站在圆心的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置，他们的视角（和）有什么关系？（2）如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置和，他们的视角（和）和同学乙的视角相同吗？教师演示课件或图片：展示一个圆柱形的海洋馆。

教师解释：在这个海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物。

教师出示海洋馆的横截面示意图，提出问题。

教师结合示意图，给出圆周角的定义。

利用几何画板演示，让学生辨析圆周角，并引导学生将问题1、问题2中的实际问题转化成数学问题：即研究同弧（）所对的圆心角（）与圆周角（）、同弧所对的圆周角（、、等）之间的大小关系。

教师引导学生进行探究。

本次活动中，教师应当重点关注：（1）问题的提出是否引起了学生的兴趣；（2）学生是否理解了示意图；（3）学生是否理解了圆周角的定义。

（4）学生是否清楚了要研究的数学问题。

从生活中的实际问题入手，使学生认识到数学总是与现实问题密不可分，人们的需要产生了数学。

将实际问题数学化，让学生从一些简单的实例中，不断体会从现实世界中寻找数学模型、建立数学关系的方法。

引导学生对图形的观察，发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。

[活动2] 问题（1）同弧（弧AB）所对的圆心角∠AOB与圆周角∠ACB的大小关系是怎样的？（2）同弧（弧AB）所对的圆周角∠ACB与圆周角∠ADB的大小关系是怎样的？教师提出问题，引导学生利用度量工具（量角器或几何画板）动手实验，进行度量，发现结论。

由学生总结发现的规律：同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半。

教师再利用几何画板从动态的角度进行演示，验证学生的发现。

教师可从以下几个方面演示，让学生观察圆周角的度数是否发生改变，同弧所对的圆周角与圆心角的`关系有无变化：（1）拖动圆周角的顶点使其在圆周上运动；（2）改变圆心角的度数；3.改变圆的半径大小。

本次活动中，教师应当重点关注：（1）学生是否积极参与活动；（2）学生是否度量准确，观察、发现的结论是否正确。

活动2的设计是为引导学生发现。

让学生亲自动手，利用度量工具（如半圆仪、几何画板）进行实验、探究，得出结论。

激发学生的求知欲望，调动学生学习的积极性。

教师利用几何画板从动态的角度进行演示，目的是用运动变化的观点来研究问题，从运动变化的过程中寻找不变的关系。

[活动3] 问题（1）在圆上任取一个圆周角，观察圆心与圆周角的位置关系有几种情况？（2）当圆心在圆周角的一边上时，如何证明活动2中所发现的结论？（3）另外两种情况如何证明，可否转化成第一种情况呢？教师引导学生，采取小组合作的学习方式，前后四人一组，分组讨论。

教师巡视，请学生回答问题。

回答不全面时，请其他同学给予补充。

教师演示圆心与圆周角的三种位置关系。

本次活动中，教师应当重点关注：（1）学生是否会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。

（2）学生能否发现圆心与圆周角的三种位置关系。

学生是否积极参与活动。

教师引导学生从特殊情况入手证明所发现的结论。

学生写出已知、求证，完成证明。

学生采取小组合作的学习方式进行探索发现，教师观察指导小组活动。

启发并引导学生，通过添加辅助线，将问题进行转化。

教师讲评学生的证明，板书圆周角定理。

本次活动中，教师应当重点关注：（1）学生是否会想到添加辅助线，将另外两种情况进行转化（2）学生添加辅助线的合理性。

（3）学生是否会利用问题2的结论进行证明。

数学教学是在教师的引导下，进行的再创造、再发现的教学。

通过数学活动，教给学生一种科学研究的方法。

学会发现问题，提出问题，分析问题，并能解决问题。

活动3的安排是让学生对所发现的结论进行证明。

培养学生严谨的治学态度。

问题1的设计是让学生通过合作探索，学会运用分类讨论的数学思想研究问题。

培养学生思维的深刻性。

问题2、3的提出是让学生学会一种分析问题、解决问题的方式方法：从特殊到一般。

学会运用化归思想将问题转化。

并启发培养学生创造性的解决问题 [活动4] 问题（1）半圆（或直径）所对的圆周角是多少度？（2）90°的圆周角所对的弦是什么？（3）在半径不等的圆中，相等的两个圆周角所对的弧相等吗？（4）在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等吗？为什么？（5）如图，点、、、在同一个圆上，四边形的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？（6）如图， ⊙O的直径AB 为10cm，弦AC 为6cm， ∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长。

学生独立思考，回答问题，教师讲评。

对于问题（1），教师应重点关注学生是否能由半圆（或直径）所对的圆心角的度数得出圆周角的度数。

对于问题（2），教师应重点关注学生是否能由90°的圆周角推出同弧所对的圆心角的度数是180°，从而得出所对的弦是直径。

对于问题（3），教师应重点关注学生能否得出正确的结论，并能说明理由。

教师提醒学生：在使用圆周角定理时一定要注意定理的条件。

对于问题（4），教师应重点关注学生能否利用定理得出与圆周角对同弧的圆心角相等，再由圆心角相等得到它们所对的弧相等。

对于问题（5），教师应重点关注学生是否准确找出同弧上所对的圆周角。

对于问题（6），教师应重点关注（1）学生是否能由已知条件得出直角三角形ABC、ABD；（2）学生能否将要求的线段放到三角形里求解。

（3）学生能否利用问题4的结论得出弧AD与弧BD相等，进而推出AD=BD。

活动4的设计是圆周角定理的应用。

通过4个问题层层深入，考察学生对定理的理解和应用。

问题1、2是定理的推论，也是定理在特殊条件下得出的结论。

问题3的设计目的是通过举反例，让学生明确定理使用的条件。

问题4是定理的引申，将本节课的内容与所学过的知识紧密的结合起来，使学生很好地进行知识的迁移。

问题5、6是定理的应用。

即时反馈有助于记忆，让学生在练习中加深对本节知识的理解。

教师通过学生练习，及时发现问题，评价教学效果。

[活动5] 小结通过本节课的学习你有哪些收获？布置作业。

（1）阅读作业：阅读教科书P90—93的内容。

（2）教科书P94 习题24.1第2、3、4、5题。

教师带领学生从知识、方法、数学思想等方面小结本节课所学内容。

教师关注不同层次的学生对所学内容的理解和掌握。

教师布置作业。

通过小结使学生归纳、梳理总结本节的知识、技能、方法，将本课所学的知识与以前所学的知识进行紧密联结，有利于培养学生数学思想、数学方法、数学能力和对数学的积极情感。

增加阅读作业目的是让学生养成看书的习惯，并通过看书加深对所学内容的理解。

课后巩固作业是对课堂所学知识的检验，是让学生巩固、提高、发展。

7、圆周角教案教学目标：（1）掌握圆周角定理的三个推论，并会熟练运用这些知识进行有关的计算和证明；（2）进一步培养学生观察、分析及解决问题的能力及逻辑推理能力；（3）培养添加辅助线的能力和思维的广阔性。

教学重点：圆周角定理的三个推论的应用。

教学难点：三个推论的灵活应用以及辅助线的添加。

教学活动设计：（一）创设学习情境问题1：画一个圆，以B、C为弧的端点能画多少个圆周角？它们有什么关系？问题2：在⊙O中，若=，能否得到∠C=∠G呢？根据什么？反过来，若土∠C=∠G，是否得到=呢？（二）分析、研究、交流、归纳让学生分析、研究，并充分交流。

注意：①问题解决，只要构造圆心角进行过渡即可；②若=，则∠C=∠G；但反之不成立。

老师组织学生归纳：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

重视：同弧说明是同一个圆；等弧说明是在同圆或等圆中。

问题：同弧能否改成同弦呢？同弦所对的圆周角一定相等吗？（学生通过交流获得知识）问题3：（1）一个特殊的圆弧——半圆，它所对的圆周角是什么样的角？（2）如果一条弧所对的圆周角是90°，那么这条弧所对的圆心角是什么样的角？学生通过以上两个问题的解决，在教师引导下得推论2：推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦直径。

指出：这个推论是圆中一个很重要的性质，为在圆中确定直角、成垂直关系创造了条件，要熟练掌握。

启发学生根据推论2推出推论3：推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角是直角三角形。

指出：推论3是下面定理的逆定理：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

（三）应用、反思例1、如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径。

求证：AB·AC=AE·AD。

对A层同学，让学生自主地分析问题、解决问题，进行生生交流，师生交流；其他层次的学生在教师引导下完成。

交流：①分析解题思路；②作辅助线的方法；③解题推理过程（要规范）。

解（略）教师引导学生思考：（1）此题还有其它证法吗？（2）比较以上证法的优缺点。

指出：在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径上的圆周角，以便利用直径上的圆周角是直角的性质。

变式练习1：如图，△ABC内接于⊙O，∠1=∠2. 求证：AB·AC=AE·AD。

变式练习2：如图，已知△ABC内接于⊙O，弦AE平分 ∠BAC交BC于D。

求证：AB·AC=AE·AD。

指出：这组题目比较典型，圆和相似三角形有密切联系，证明圆中某些线段成比例，常常需要找出或通过辅助线构造出相似三角形。

例2：如图，已知在⊙O中，直径AB为10厘米，弦AC为6厘米，∠ACB的平分线交⊙O于D；求BC，AD和BD的长。

解：（略）说明：充分利用直径所对的圆周角为直角，解直角三角形。

练习：教材P96中1、2 （四）小结（指导学生共同小结）知识：本节课主要学习了圆周角定理的三个推论。

这三个推论各具特色，作用各异，在今后的学习中应用十分广泛，应熟练掌握。

能力：在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角或构成相似三角形，这种基本技能技巧一定要掌握。

（五）作业教材P100.习题A组9、10、12、13、14题；另外A层同学做P102B组3.4题。

探究活动我们已经学习了圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，但当角的顶点在圆外（如图①称圆外角）或在圆内（如图②称圆内角），它的度数又和什么有关呢？请探究。

提示：（1）连结BC，可得∠E=（的度数—的度数）（2）延长AE、CE分别交圆于B、D，则∠B=的度数， ∠C=的度数， ∴∠AEC=∠B+∠C=（的度数+的度数）。

8、圆周角教案教学任务分析教学目标知识技能 1.了解圆周角与圆心角的关系。

2.掌握圆周角的性质和直径所对圆周角的特征。

3.能运用圆周角的性质解决问题。

数学思考 1.通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力。

2.通过观察图形，提高学生的识图能力。

3.通过引导学生添加合理的辅助线，培养学生的创造力。

重点圆周角与圆心角的关系，圆周角的性质和直径所对圆周角的特征。

难点发现并论证圆周角定理。

通过实例观察、发现圆周角的特点，利用度量工具，探索同弧所对的圆心角与圆周角的关系，同弧所对的圆周角之间的关系。

探索圆心与圆周角的位置关系，利用分类讨论的数学思想证明圆周角定理。

反馈练习，加深对圆周角定理的理解和应用。

回顾梳理，从知识和能力方面总结本节课所学到的东西。

教师解释：在这个海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物。

教师出示海洋馆的横截面示意图，提出问题。

教师结合示意图，给出圆周角的定义。

教师引导学生进行探究。

本次活动中，教师应当重点关注：（1）问题的提出是否引起了学生的兴趣；（2）学生是否理解了示意图；（3）学生是否理解了圆周角的定义。

（4）学生是否清楚了要研究的数学问题。

从生活中的实际问题入手，使学生认识到数学总是与现实问题密不可分，人们的需要产生了数学。

将实际问题数学化，让学生从一些简单的实例中，不断体会从现实世界中寻找数学模型、建立数学关系的方法。

引导学生对图形的观察，发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。

由学生总结发现的规律：同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半。

教师再利用几何画板从动态的角度进行演示，验证学生的发现。

教师可从以下几个方面演示，让学生观察圆周角的度数是否发生改变，同弧所对的圆周角与圆心角的关系有无变化：（1）拖动圆周角的顶点使其在圆周上运动；（2）改变圆心角的度数；3.改变圆的半径大小。

本次活动中，教师应当重点关注：（1）学生是否积极参与活动；（2）学生是否度量准确，观察、发现的结论是否正确。

活动2的设计是为引导学生发现。

让学生亲自动手，利用度量工具（如半圆仪、几何画板）进行实验、探究，得出结论。

激发学生的求知欲望，调动学生学习的积极性。

教师利用几何画板从动态的角度进行演示，目的是用运动变化的观点来研究问题，从运动变化的过程中寻找不变的关系。

教师巡视，请学生回答问题。

回答不全面时，请其他同学给予补充。

教师演示圆心与圆周角的三种位置关系。

本次活动中，教师应当重点关注：（1）学生是否会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。

（2）学生能否发现圆心与圆周角的三种位置关系。

学生是否积极参与活动。

教师引导学生从特殊情况入手证明所发现的结论。

学生写出已知、求证，完成证明。

学生采取小组合作的学习方式进行探索发现，教师观察指导小组活动。

启发并引导学生，通过添加辅助线，将问题进行转化。

教师讲评学生的证明，板书圆周角定理。

本次活动中，教师应当重点关注：（1）学生是否会想到添加辅助线，将另外两种情况进行转化（2）学生添加辅助线的合理性。

（3）学生是否会利用问题2的结论进行证明。

数学教学是在教师的引导下，进行的再创造、再发现的教学。

通过数学活动，教给学生一种科学研究的方法。

学会发现问题，提出问题，分析问题，并能解决问题。

活动3的安排是让学生对所发现的结论进行证明。

培养学生严谨的治学态度。

问题1的设计是让学生通过合作探索，学会运用分类讨论的数学思想研究问题。

培养学生思维的深刻性。

问题2、3的提出是让学生学会一种分析问题、解决问题的方式方法：从特殊到一般。

学会运用化归思想将问题转化。

学生独立思考，回答问题，教师讲评。

对于问题（1），教师应重点关注学生是否能由半圆（或直径）所对的圆心角的度数得出圆周角的度数。

对于问题（2），教师应重点关注学生是否能由90°的圆周角推出同弧所对的圆心角的度数是180°，从而得出所对的弦是直径。

对于问题（3），教师应重点关注学生能否得出正确的结论，并能说明理由。

教师提醒学生：在使用圆周角定理时一定要注意定理的条件。

对于问题（4），教师应重点关注学生能否利用定理得出与圆周角对同弧的圆心角相等，再由圆心角相等得到它们所对的弧相等。

对于问题（5），教师应重点关注学生是否准确找出同弧上所对的圆周角。

对于问题（6），教师应重点关注（1）学生是否能由已知条件得出直角三角形ABC、ABD；（2）学生能否将要求的线段放到三角形里求解。

（3）学生能否利用问题4的结论得出弧AD与弧BD相等，进而推出AD=BD。

活动4的设计是圆周角定理的应用。

通过4个问题层层深入，考察学生对定理的理解和应用。

问题1、2是定理的推论，也是定理在特殊条件下得出的结论。

问题3的设计目的是通过举反例，让学生明确定理使用的条件。

问题4是定理的引申，将本节课的内容与所学过的知识紧密的结合起来，使学生很好地进行知识的迁移。

问题5、6是定理的应用。

即时反馈有助于记忆，让学生在练习中加深对本节知识的理解。

教师通过学生练习，及时发现问题，评价教学效果。

[活动5] 小结通过本节课的学习你有哪些收获？布置作业。

（1）阅读作业：阅读教科书P90—93的内容。

（2）教科书P94 习题24.1第2、3、4、5题。

教师带领学生从知识、方法、数学思想等方面小结本节课所学内容。

教师关注不同层次的学生对所学内容的理解和掌握。

教师布置作业。

通过小结使学生归纳、梳理总结本节的知识、技能、方法，将本课所学的'知识与以前所学的知识进行紧密联结，有利于培养学生数学思想、数学方法、数学能力和对数学的积极情感。

增加阅读作业目的是让学生养成看书的习惯，并通过看书加深对所学内容的理解。

课后巩固作业是对课堂所学知识的检验，是让学生巩固、提高、发展。

9、圆周角教案教学任务分析教学目标知识技能 1.了解圆周角与圆心角的关系。

2.掌握圆周角的性质和直径所对圆周角的特征。

3.能运用圆周角的性质解决问题。

数学思考 1.通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力。

2.通过观察图形，提高学生的识图能力。

3.通过引导学生添加合理的辅助线，培养学生的创造力。

重点圆周角与圆心角的关系，圆周角的性质和直径所对圆周角的特征。

难点发现并论证圆周角定理。

通过实例观察、发现圆周角的特点，利用度量工具，探索同弧所对的圆心角与圆周角的关系，同弧所对的圆周角之间的关系。

探索圆心与圆周角的位置关系，利用分类讨论的数学思想证明圆周角定理。

反馈练习，加深对圆周角定理的理解和应用。

回顾梳理，从知识和能力方面总结本节课所学到的东西。

教师解释：在这个海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物。

教师出示海洋馆的横截面示意图，提出问题。

教师结合示意图，给出圆周角的定义。

教师引导学生进行探究。

本次活动中，教师应当重点关注：（1）问题的提出是否引起了学生的兴趣；（2）学生是否理解了示意图；（3）学生是否理解了圆周角的定义。

（4）学生是否清楚了要研究的数学问题。

从生活中的实际问题入手，使学生认识到数学总是与现实问题密不可分，人们的需要产生了数学。

将实际问题数学化，让学生从一些简单的实例中，不断体会从现实世界中寻找数学模型、建立数学关系的方法。

引导学生对图形的观察，发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。

由学生总结发现的规律：同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半。

教师再利用几何画板从动态的角度进行演示，验证学生的发现。

本次活动中，教师应当重点关注：（1）学生是否积极参与活动；（2）学生是否度量准确，观察、发现的结论是否正确。

活动2的设计是为引导学生发现。

让学生亲自动手，利用度量工具（如半圆仪、几何画板）进行实验、探究，得出结论。

激发学生的求知欲望，调动学生学习的积极性。

教师利用几何画板从动态的角度进行演示，目的是用运动变化的观点来研究问题，从运动变化的过程中寻找不变的关系。

教师巡视，请学生回答问题。

回答不全面时，请其他同学给予补充。

教师演示圆心与圆周角的三种位置关系。

本次活动中，教师应当重点关注：（1）学生是否会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。

（2）学生能否发现圆心与圆周角的三种位置关系。

学生是否积极参与活动。

教师引导学生从特殊情况入手证明所发现的结论。

学生写出已知、求证，完成证明。

学生采取小组合作的学习方式进行探索发现，教师观察指导小组活动。

启发并引导学生，通过添加辅助线，将问题进行转化。

教师讲评学生的证明，板书圆周角定理。

本次活动中，教师应当重点关注：（1）学生是否会想到添加辅助线，将另外两种情况进行转化（2）学生添加辅助线的合理性。

（3）学生是否会利用问题2的结论进行证明。

数学教学是在教师的引导下，进行的再创造、再发现的教学。

通过数学活动，教给学生一种科学研究的方法。

学会发现问题，提出问题，分析问题，并能解决问题。

活动3的安排是让学生对所发现的结论进行证明。

培养学生严谨的治学态度。

问题1的设计是让学生通过合作探索，学会运用分类讨论的数学思想研究问题。

培养学生思维的深刻性。

问题2、3的`提出是让学生学会一种分析问题、解决问题的方式方法：从特殊到一般。

学会运用化归思想将问题转化。

学生独立思考，回答问题，教师讲评。

对于问题（1），教师应重点关注学生是否能由半圆（或直径）所对的圆心角的度数得出圆周角的度数。

对于问题（2），教师应重点关注学生是否能由90°的圆周角推出同弧所对的圆心角的度数是180°，从而得出所对的弦是直径。

对于问题（3），教师应重点关注学生能否得出正确的结论，并能说明理由。

教师提醒学生：在使用圆周角定理时一定要注意定理的条件。

对于问题（4），教师应重点关注学生能否利用定理得出与圆周角对同弧的圆心角相等，再由圆心角相等得到它们所对的弧相等。

对于问题（5），教师应重点关注学生是否准确找出同弧上所对的圆周角。

对于问题（6），教师应重点关注（1）学生是否能由已知条件得出直角三角形ABC、ABD；（2）学生能否将要求的线段放到三角形里求解。

（3）学生能否利用问题4的结论得出弧AD与弧BD相等，进而推出AD=BD。

活动4的设计是圆周角定理的应用。

通过4个问题层层深入，考察学生对定理的理解和应用。

问题1、2是定理的推论，也是定理在特殊条件下得出的结论。

问题3的设计目的是通过举反例，让学生明确定理使用的条件。

问题4是定理的引申，将本节课的内容与所学过的知识紧密的结合起来，使学生很好地进行知识的迁移。

问题5、6是定理的应用。

即时反馈有助于记忆，让学生在练习中加深对本节知识的理解。

教师通过学生练习，及时发现问题，评价教学效果。

[活动5] 小结通过本节课的学习你有哪些收获？布置作业。

（1）阅读作业：阅读教科书P90—93的内容。

（2）教科书P94 习题24.1第2、3、4、5题。

教师带领学生从知识、方法、数学思想等方面小结本节课所学内容。

教师关注不同层次的学生对所学内容的理解和掌握。

教师布置作业。

增加阅读作业目的是让学生养成看书的习惯，并通过看书加深对所学内容的理解。

课后巩固作业是对课堂所学知识的检验，是让学生巩固、提高、发展。

10、圆周角教案教材依据圆周角是新课标人教版九年级数学上册第二十四章第一节圆的有关性质的重要内容，本节内容依据新人教版九年级《课程标准》和《教师教学用书》及《初中数学新教材详解》。

设计思想本节课是在学习了圆心角的定义、性质定理和推论的基础上，由生活实例引出圆周角，类比圆心角认识圆周角，类比圆心角的性质探究圆周角定理，精选例题及习题对本节内容进行迁移应用。

在教学过程中本着以人为本，让课堂变为学堂，把时间和空间更多地留给学生为原则，注重学生的实践活动，通过让学生作图、度量、分析、猜想、验证得出结论，教学过程中充分利用学生已有的认知水平，由浅入深、逐层递进，并能适时地应用直观教具引导学生运用分类讨论及转化的数学思想对圆周角定理进行证明，化解本节课的难点。

这样学生易于接受新知识，也能很快地理解并掌握圆周角定理的内容，同时给学生自主探索留有很大空间，让学生在实践探究、合作交流活动中，亲身体验应用数学的乐趣和成功的喜悦，发展学生的思维，培养学生的多种学习能力。

教学目标 1.知识与技能（1）理解圆周角的概念，掌握圆周角定理，并运用它进行简单的论证和计算。

（2）经历圆周角定理的证明，使学生初步学会运用分类讨论的数学思想和转化的数学思想解决问题。

2.过程与方法采用活动与探究的学习方法，由感性到理性、由简单到复杂、由特殊到一般的思维过程研究新知识，引导学生理解知识的发生发展过程，并使学生能应用所学知识解决简单的实际问题。

3.情感、态度与价值观通过学生探索圆周角定理，自主学习、合作交流的学习过程，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习数学的自信心。

教学重点圆周角的概念、圆周角定理及应用。

教学难点圆周角定理的探究过程及定理的应用。

教学准备学生：圆规、量角器、尺子教师：多媒体课件、活动教具教学过程一、创设情景，引入新课大屏幕显示学生熟悉的画面（足球射门游戏）足球场有句顺口溜：冲向球门跑，越近就越好；歪着球门跑，射点要选好。

其中蕴藏了一定的数学道理，学习了本节课，我们就可以解释其中的道理。

二、实践探索,揭示新知（一）圆周角的概念在射门游戏中，球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角∠ABC有关。

（教师出示图片，提出问题）图中∠ABC是圆心角吗？什么是圆心角？图中∠ABC有什么特点？（学生通过与圆心角的类比、分析、观察得出∠ABC的特点，进而概括出圆周角的概念，教师引导并板书）定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

概念辨析：判断下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。

（图略）（通过概念辨析，让学生理解圆周角的定义，提高学生的语言表达能力，教师强调知识要点）强调：圆周角必须具备的两个条件：①顶点在圆上；②两边都与圆相交。

二圆周角定理 1.提出问题，引发思考类比圆心角的结论：同弧或等弧所对的圆心角相等。

提出本节课研究的问题：同弧或等弧所对的圆周角相等吗？为了搞清这个问题，我们可以先研究：同弧所对的圆心角和圆周角的关系。

2.活动与探究画一个圆心角，然后再画同弧所对的圆周角。

你能画多少个圆周角？用量角器量一量这些圆周角及圆心角的度数，你有何发现呢？（教师提出问题，学生作图、度量、分析、归纳出发现的结论。

）结论：（1）同一条弧所对的圆周角有无数个，同弧所对的任意一个圆周角都相等。

（2）同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

由上述操作可以看出：同一条弧所对的任意一个圆周角都等于该条弧所对的圆心角的一半。

（学生通过实践探究，讨论概括出结论，教师点评） 3.推理与论证（1）教师演示活动教具，一条弧所对的圆心角只有一个，所对的圆周角有无数个，我们没有办法一一论证，提出本节课研究方法：分类讨论法。

（教师演示，引导学生观察圆心与圆周角的位置关系，学生观察、小组交流，最后得出结论，教师出示圆心和圆周角的三种位置关系图片）（2）分类讨论，证明结论 ① 当圆心在圆周角的一条边上时，如何证明？（从特殊情况入手，学生通过观察、分析、讨论，证明所发现的结论，教师鼓励学生看清此数学模型。

） ②另外两种情况如何证明，可否转化成第一种情况呢？（学生采取小组合作的学习方式进行探索发现，教师巡视指导，启发并引导学生，通过添加辅助线，将问题进行转化，学生写出证明过程，并讨论归纳出结论，教师做出点评）结论：在同圆中，同弧所对的圆周角相等，都等于该条弧所对圆心角的一半 4.变式拓展，引出重点将上述结论改为在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等吗？（学生思考、推理、讨论、总结出圆周角定理，教师板书）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

强调：（1）定理的适用范围：同圆或等圆（2）同弧或等弧所对的圆周角相等（3）同弧或等弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半（教师强调圆周角定理的内容，学生思考、默记、熟悉定理，加深对定理的理解）三、应用练习，巩固提高 1.范例精析：例：如图，在⊙O中，∠CBD=30° ，∠BDC=20°，求∠A（图略）（鼓励学生用多种方法解决问题，发散学生的思维，培养学生良好的思维品质，让学生书写推力计算过程，教师补充、点评、并和学生一起归纳解法。

两种解法分别应用了圆周角定理中的两个结论，进一步对本节课的重点知识熟练深化，同时又培养了学生规范的书写表达能力） 2.应用迁移：（1）比比看谁算得快：（图略）（本小题既可巩固圆周角定理，又可培养学生的竞争意识以适应时代的要求，同时对回答问题积极准确的学生提出表扬，激发学生的学习积极性）（2）生活中的数学如图。

在足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同伴乙已经冲到B点，这时甲是直接射门好，还是将球传给乙，让乙射门好﹙仅从射门角度考虑﹚（图略）（选用学生熟悉的生活材料，让学生通过合作交流，讨论找出合理的解答方法，通过本小题的练习，使学生体味到生活离不开数学，从而激发学生应用数学的意识）四、总结评价，感悟收获通过本节课的学习你有哪些收获？（学生归纳总结，老师点评）知识：（1）圆周角的定义；（2）圆周角定理。

能力：观察、操作、分析、归纳、表达等能力。

思想方法：分类讨论思想、转化思想、类比思想、数形结合思想、五、作业设计，查漏补缺 1.课本习题：P88.1.2.3.P89.5.P124.11 2.在⊙O中，圆心角∠AOB=70°，点C是⊙O上异于A、B的一点，求圆周角∠AOB的度数。

3.生活中的数学：监控器的监控范围是65度，圆形的博物馆内需要安装几盏才能全方位监控？（图略）（设计课本习题与课外拓展作业，不仅可以使学生对本节课的知识加以巩固、提高和查漏补缺，而且让学生会用数学的眼光和头脑去观察和思考世界，达到学以致用）教学反思成功之处：本节课内容丰富，结构合理，设计精细。

教学时能根据学生实际遵循认知规律，由浅入深，循序渐进，及时了解学生的学习情况，灵活调整教学内容。

能适时的用教材又不拘泥于教材，挖掘教材的多种功能，在教学结构的安排上也体现了新课标、新理念，重视学生自主学习、自主探究、合作交流、主动地观察与思考，各个环节衔接紧密、合理、流畅，教学效果比较理想。

不足之处：学生不易理解用分类讨论思想证明圆周角定理，在后面的教学中逐步让学生了解分类讨论思想在解题时的应用。

另外学生语言表达的准确性还需不断加强。

11、圆周角教案一等奖设计及反思教材依据圆周角是新课标人教版九年级数学上册第二十四章第一节圆的有关性质的重要内容，本节内容依据新人教版九年级《课程标准》和《教师教学用书》及《初中数学新教材详解》。

教学目标 1.知识与技能（1）理解圆周角的概念，掌握圆周角定理，并运用它进行简单的论证和计算。

（2）经历圆周角定理的证明，使学生初步学会运用分类讨论的数学思想和转化的数学思想解决问题。

教学重点圆周角的概念、圆周角定理及应用。

教学难点圆周角定理的探究过程及定理的应用。

其中蕴藏了一定的数学道理，学习了本节课，我们就可以解释其中的道理。

二、实践探索,揭示新知（一）圆周角的概念在射门游戏中，球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角∠ABC有关。

概念辨析：判断下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。

二圆周角定理 1.提出问题，引发思考类比圆心角的结论：同弧或等弧所对的圆心角相等。

提出本节课研究的问题：同弧或等弧所对的圆周角相等吗？为了搞清这个问题，我们可以先研究：同弧所对的圆心角和圆周角的关系。

2.活动与探究画一个圆心角，然后再画同弧所对的圆周角。

你能画多少个圆周角？用量角器量一量这些圆周角及圆心角的度数，你有何发现呢？（教师提出问题，学生作图、度量、分析、归纳出发现的结论。

）结论：（1）同一条弧所对的圆周角有无数个，同弧所对的任意一个圆周角都相等。

（2）同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

由上述操作可以看出：同一条弧所对的任意一个圆周角都等于该条弧所对的圆心角的一半。

能力：观察、操作、分析、归纳、表达等能力。

教学时能根据学生实际遵循认知规律，由浅入深，循序渐进，及时了解学生的学习情况，灵活调整教学内容。

不足之处：学生不易理解用分类讨论思想证明圆周角定理，在后面的教学中逐步让学生了解分类讨论思想在解题时的应用。

另外学生语言表达的准确性还需不断加强。

12、勾股定理的逆定理教案一、教学目标 1.灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

2.进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。

二、重点、难点 1.重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

2.难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

3.难点的突破方法：三、课堂引入创设情境：在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而使用一些数学知识和数学方法。

四、例习题分析例1（P83例2）分析：⑴了解方位角，及方位名词； ⑵依题意画出图形； ⑶依题意可得PR=12×1.5=18.PQ=16×1.5=24.QR=30； ⑷因为242+182=302.PQ2+PR2=QR2.根据勾股定理的逆定理，知∠QPR=90°； ⑸∠PRS=∠QPR―∠QPS=45°。

小结：让学生养成已知三边求角，利用勾股定理的逆定理的意识。

例2（补充）一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。

分析：⑴若判断三角形的形状，先求三角形的三边长； ⑵设未知数列方程，求出三角形的三边长5、12、13； ⑶根据勾股定理的逆定理，由52+122=132.知三角形为直角三角形。

解略。

本题帮助培养学生利用方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。

13、勾股定理的逆定理教案一、内容和内容解析 1.内容应用勾股定理及勾股定理的逆定理解决实际问题。

2.内容解析运用勾股定理的逆定理可以从三角形边的数量关系来识别三角形的形状，它是用代数方法来研究几何图形，也是向学生渗透数形结合这一数学思想方法的很好素材。

综合运用勾股定理及其逆定理能帮助我们解决实际问题。

基于以上分析，可以确定本课的教学重点是灵活运用勾股定理的逆定理解决实际问题。

二、目标和目标解析 1.目标（1）灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

（2）进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。

2.目标解析达成目标（1）的标志是学生通过合作、讨论、动手实践等方式，在应用题中建立数学模型，准确画出几何图形，再熟练运用勾股定理逆定理判断三角形状及求边长、面积、角度等；目标（2）能先用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形，再用勾股定理及直角三角形的性质进行有关的计算和证明。

三、教学问题诊断分析对于大部分学生将实际问题抽象成数学模型并进行解析与应用，有一定的困难，所以在教学时应该注意启发引导学生从实际生活中所遇到的问题出发，鼓励学生以勾股定理及逆定理的知识为载体建立数学模型，利用数学模型去解决实际问题。

本课的教学难点是灵活运用勾股定理及逆定理解决实际问题。

四、教学过程设计 1.复习反思，引出课题问题1 通过前面的学习，我们对勾股定理及其逆定理的知识有一定的了解，请说出勾股定理及其逆定理的内容。

师生活动：学生回答勾股定理的内容如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么；勾股定理的逆定理如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形。

追问：你能用勾股定理及逆定理解决哪些问题？师生活动：学生通过思考举手回答，教师板书课题。

【设计意图】通过复习勾股定理及其逆定理来引入本课时的学习任务――应用勾股定理及逆定理解决有关实际问题。

2. 点击范例，以练促思问题2 某港口位于东西方向的海岸线上。

远航号、海天号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，远航号每小时航行16海里，海天号每小时航行12海里。

它们离开港口一个半小时后相距30海里。

如果知道远航号沿东北方向航行，能知道海天号沿哪个方向航行吗？师生活动：学生读题，理解题意，弄清楚已知条件和需解决的问题，教师通过梯次性问题的展示，适时点拨，学生尝试画图、估测、交流中分化难点完成解答。

追问1：请同学们认真审题，弄清已知是什么？解决的问题是什么？师生活动：学生通过思考举手回答，教师在黑板上列出：已知两种船的航速，它们的航行时间以及相距的路程，远航号的航向――东北方向；解决的问题是海天号的航向。

追问2：你能根据题意画出图形吗？师生活动：学生尝试画图，教师在黑板上或多媒体中画出示意图。

追问3：在所画的图中哪个角可以表示海天号的航向？图中知道哪个角的度数？师生活动：学生小组讨论交流回答问题海天号的航向只要能确定∠QPR的大小即可。

组内讨论解答，小组代表展示解答过程，教师适时点评，多媒体展示规范解答过程。

解：根据题意，因为，即，所以由远航号沿东北方向航行可知。

因此，即海天号沿西北方向航行。

课堂练习1. 课本33页练习第3题。

课堂练习2. 在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度前进，1小时后甲船到达岛，乙船到达岛，且岛与岛相距17海里，你能知道乙船沿哪个方向航行吗？【设计意图】学生在规范化的解答过程及练习中，提升对勾股定理逆定理的认识以及实际应用的能力。

3. 补充训练，巩固新知问题3 实验中学有一块四边形的空地若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金购买草皮？师生活动：先由学生独立思考。

若学生有想法，则由学生先说思路，然后教师追问：你是怎么想到的？对学生思路中的合理成分进行总结；若学生没有思路，教师可引导学生分析：从所要求的结果出发是要知道四边形的面积，而四边形被它的一条对角线分成两个三角形，求出两个三角形的面积和即可。

启发学生形成思路，最后由学生演板完成。

【设计意图】引导学生利用辅助线解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。

4. 反思小结，观点提炼教师引导学生参照下面两个方面，回顾本节课所学的主要内容，进行相互交流：（1）知识总结：勾股定理以及逆定理的实际应用；（2）方法归纳：数学建模的思想。

【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，总结方法，体会思想。

5.布置作业教科书34页习题17.2第3题，第4题，第5题，第6题。

五、目标检测设计 1.小明在学校运动会上负责联络，他先从检录处走了75米到达起点，又从起点向东走了100米到达终点，最后从终点走了125米，回到检录处，则他开始走的方向是（假设小明走的每段都是直线）（） A。

南北 B。

东西 C。

东北 D。

西北【设计意图】考查运用勾股定理的逆定理解决实际生活问题。

2.甲、乙两船同时从港出发，甲船沿北偏东的方向，以每小时9海里的速度向岛驶去，乙船沿另一个方向，以每小时12海里的速度向岛驶去，3小时后两船同时到达了目的地。

如果两船航行的速度不变，且两岛相距45海里，那么乙船航行的方向是南偏东多少度？【设计意图】考查建立数学模型，准确画出几何图形，运用勾股定理的逆定理解决实际生活问题。

3.如图是一块四边形的菜地，已知求这块菜地的面积。

【设计意图】考查利用勾股定理及逆定理将不规则图形转化为直角三角形，巧妙地求解。

14、勾股定理的逆定理教案重点、难点分析本节内容的重点是勾股定理的逆定理及其应用。

它可用边的关系判断一个三角形是否为直角三角形。

为判断三角形的形状提供了一个有力的依据。

本节内容的难点是勾股定理的逆定理的应用。

在用勾股定理的逆定理时，分不清哪一条边作斜边，因此在用勾股定理的逆定理判断三角形的形状时而出错；另外，在解决有关综合问题时，要将给的边的数量关系经过代数变化，最后达到一个目标式，这种转化对学生来讲也是一个困难的地方。

教法建议：本节课教学模式主要采用互动式教学模式及类比的教学方法。

通过前面所学的垂直平分线定理及其逆定理，做类比对象，让学生自己提出问题并解决问题。

在课堂教学中营造轻松、活泼的课堂气氛。

通过师生互动、生生互动、学生与教材之间的互动，造成情意共鸣，沟通信息，反馈流畅，思维活跃，达到培养学生思维能力的目的。

具体说明如下：（1）让学生主动提出问题利用类比的学习方法，由学生将上节课所学习的勾股定理的逆命题书写出来。

这里分别找学生口述文字；用符号、图形的形式板书逆命题的内容。

所有这些都由学生自己完成，估计学生不会感到困难。

这样设计主要是培养学生善于提出问题的习惯及能力。

（2）让学生自己解决问题判断上述逆命题是否为真命题？对这一问题的解决，学生会感到有些困难，这里教师可做适当的点拨，但要尽可能的让学生的发现和探索，找到解决问题的思路。

（3）通过实际问题的解决，培养学生的数学意识。

教学目标： 1、知识目标：（1）理解并会证明勾股定理的逆定理；（2）会应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形；（3）知道什么叫勾股数，记住一些觉见的勾股数。

2、能力目标：（1）通过勾股定理与其逆定理的比较，提高学生的辨析能力；（2）通过勾股定理及以前的知识联合起来综合运用，提高综合运用知识的能力。

3、情感目标：（1）通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受；（2）通过知识的纵横迁移感受数学的辩证特征。

教学重点：勾股定理的逆定理及其应用教学难点：勾股定理的逆定理及其应用教学用具：直尺，微机教学方法：以学生为主体的讨论探索法教学过程： 1、新课背景知识复习（投影）勾股定理的内容文字叙述（投影显示）符号表述图形（画在黑板上） 2、逆定理的获得（1）让学生用文字语言将上述定理的逆命题表述出来（2）学生自己证明逆定理：如果三角形的三边长有下面关系：那么这个三角形是直角三角形强调说明：（1）勾股定理及其逆定理的区别勾股定理是直角三角形的性质定理，逆定理是直角三角形的判定定理。

（2）判定直角三角形的方法： ①角为、②垂直、③勾股定理的逆定理 2、定理的应用（投影显示题目上）例1 如果一个三角形的三边长分别为则这三角形是直角三角形例2 如图，已知：CD⊥AB于D，且有求证：△ACB为直角三角形。

以上例题，分别由学生先思考，然后回答。

师生共同补充完善。

（教师做总结） 4、课堂小结：（1）逆定理应用时易出现的错误：分不清哪一条边作斜边（最大边）（2）判定是否为直角三角形的一种方法：结合勾股定理和代数式、方程综合运用。

5、布置作业： a、书面作业P131#9 b、上交作业：已知：如图，△DEF中，DE=17.EF=30.EF边上的中线DG=8 求证：△DEF是等腰三角形 15、勾股定理的逆定理教案一、创设问属情境，引入新课活动1（1）总结直角三角形有哪些性质。

（2）一个三角形，满足什么条件是直角三角形？设计意图：通过对前面所学知识的归纳总结，联想到用三边的关系是否可以判断一个三角形为直角三角形，提高学生发现反思问题的能力。

师生行为学生分组讨论，交流总结；教师引导学生回忆。

本活动，教师应重点关注学生：①能否积极主动地回忆，总结前面学过的旧知识；②能否温故知新。

生：直角三角形有如下性质：（1）有一个角是直角；（2）两个锐角互余，（3）两直角边的平方和等于斜边的平方：（4）在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半。

师：那么，一个三角形满足什么条件，才能是直角三角形呢？生：有一个内角是90°，那么这个三角形就为直角三角形。

生：如果一个三角形，有两个角的和是90°，那么这个三角形也是直角三角形。

师：前面我们刚学习了勾股定理，知道一个直角三角形的两直角边a，b斜边c具有一定的数量关系即a2+b2=c2.我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为直角三角形呢？我们来看一下古埃及人如何做？二、讲授新课活动2问题：据说古埃及人用下图的`方法画直角：把一根长蝇打上等距离的13个结，然后以3个结，4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。

这个问题意味着，如果围成的三角形的三边分别为3、4、5.有下面的关系32+42=52。

那么围成的三角形是直角三角形。

画画看，如果三角形的三边分别为2.5cm，6cm，6.5cm，有下面的关系，2.52+62=6.52.画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为4cm、7.5cm、8.5cm。

再试一试。

设计意图：由特殊到一般，归纳猜想出如果三角形三边a，b，c满足a2+b2=c2.那么这个三角形就为直免三角形的结论，培养学生动手操作能力和寻求解决数学问题的一般方法。

师生行为让学生在小组内共同合作，协手完成此活动。

教师参与此活动，并给学生以提示、启发。

在本活动中，教师应重点关注学生：①能否积极动手参与。

②能否从操作活动中，用数学语言归纳、猜想出结论。

③学生是否有克服困难的勇气。

生：我们不难发现上图中，第（1）个结到第（4）个结是3个单位长度即AC=3；同理BC=4.AB=5.因为32+42=52.我们围成的三角形是直角三角形。

生：如果三角形的三边分别是2.5cm，6cm，6.5cm。

我们用尺规作图的方法作此三角形，经过测量后，发现6.5cm的边所对的角是直角，并且2.52+62=6.52. 再换成三边分别为4cm，7.5cm，8.5cm的三角形，目标可以发现8.5cm的边所对的角是直角，且也有42+7.52=8.52. 是不是三角形的三边只要有两边的平方和等于第三边的平方，就能得到一个直角三角形呢？活动3下面的三组数分别是一个三角形的三边长？ 16、勾股定理的逆定理教案一、创设问属情境，引入新课活动1（1）总结直角三角形有哪些性质。

师生行为学生分组讨论，交流总结；教师引导学生回忆。

本活动，教师应重点关注学生：①能否积极主动地回忆，总结前面学过的旧知识；②能否温故知新。

师：那么，一个三角形满足什么条件，才能是直角三角形呢？生：有一个内角是90°，那么这个三角形就为直角三角形。

生：如果一个三角形，有两个角的和是90°，那么这个三角形也是直角三角形。

师：前面我们刚学习了勾股定理，知道一个直角三角形的两直角边a，b斜边c具有一定的数量关系即a2+b2=c2.我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为直角三角形呢？我们来看一下古埃及人如何做？二、讲授新课活动2问题：据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长蝇打上等距离的13个结，然后以3个结，4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。

这个问题意味着，如果围成的三角形的三边分别为3、4、5.有下面的关系32+42=52。

那么围成的三角形是直角三角形。

画画看，如果三角形的三边分别为2.5cm，6cm，6.5cm，有下面的关系，2.52+62=6.52.画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为4cm、7.5cm、8.5cm。

再试一试。

师生行为让学生在小组内共同合作，协手完成此活动。

教师参与此活动，并给学生以提示、启发。

在本活动中，教师应重点关注学生：①能否积极动手参与。

②能否从操作活动中，用数学语言归纳、猜想出结论。

③学生是否有克服困难的勇气。

生：我们不难发现上图中，第（1）个结到第（4）个结是3个单位长度即AC=3；同理BC=4.AB=5.因为32+42=52.我们围成的三角形是直角三角形。

生：如果三角形的三边分别是2.5cm，6cm，6.5cm。

我们用尺规作图的方法作此三角形，经过测量后，发现6.5cm的边所对的角是直角，并且2.52+62=6.52. 再换成三边分别为4cm，7.5cm，8.5cm的三角形，目标可以发现8.5cm的边所对的角是直角，且也有42+7.52=8.52. 是不是三角形的三边只要有两边的平方和等于第三边的平方，就能得到一个直角三角形呢？活动3下面的三组数分别是一个三角形的三边长？ 17、勾股定理的逆定理教案教学目标 1.灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

2.进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。

重难点 1.重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

2.难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

一、自主学习 1、若三角形的三边是 ⑴1、、2； ⑵； ⑶32.42.52⑷9.40.41； ⑸（m+n）2-1.2（m+n），（m+n）2+1；则构成的是直角三角形的有（） A。

2个 B。

3个？？？？？C。

4个？？？？？？D。

5个 2、已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？ ⑴a=9.b=41.c=40； ⑵a=15.b=16.c=6； ⑶a=2.b=，c=4；二、交流展示例1（P33例2）某港口P位于东西方向的海岸线上。

远航号、海天号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，远航号每小时航行16海里，海天号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，并相距30海里。

如果知道远航号沿东北方向航行，能知道海天号沿哪个方向航行吗？分析：⑴了解方位角，及方位名词；⑵依题意画出图形；⑶依题意可求PR，PQ，QR； ⑷根据勾股定理的逆定理，求∠QPR；⑸求∠RPN。

小结：让学生养成已知三边求角，利用勾股定理的逆定理的意识。

例2、一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。

分析：⑴若判断三角形的形状，先求三角形的三边长； ⑵设未知数列方程，求出三角形的三边长； ⑶根据勾股定理的逆定理，判断三角形是否为直角三角形。

三、合作探究例3.如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。

小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°。

四、达标测试 1.一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为，此三角形的形状为。

2.小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。

小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是。

3.一根12米的电线杆AB，用铁丝AC、AD固定，现已知用去铁丝AC=15米，AD=13米，又测得地面上B、C两点之间距离是9米，B、D两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？ 4.如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。

已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向？五、教学反思 18、勾股定理的逆定理教案一、教学目标 1.体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。

2.探究勾股定理的逆定理的证明方法。

3.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。

二、重点、难点 1.重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。

2.难点：勾股定理的`逆定理的证明。

3.难点的突破方法：先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，再探究理论证明方法。

充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理论学生更容易接受。

为学生搭好台阶，扫清障碍。

⑴如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问题转化为如何判断一个角是直角。

⑵利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解决。

⑶先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边A1B1=c，则通过三边对应相等的两个三角形全等可证。

三、课堂引入创设情境：⑴怎样判定一个三角形是等腰三角形？ ⑵怎样判定一个三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定进行对比，从勾股定理的逆命题进行猜想。

四、例习题分析例1（补充）说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？ ⑴同旁内角互补，两条直线平行。

⑵如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。

⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

⑷直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。

分析：⑴每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用。

⑵理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假。

解略。

本题意图在于使学生了解命题，逆命题，逆定理的概念，及它们之间的关系。

例2（P82探究）证明：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2.那么这个三角形是直角三角形。

分析：⑴注意命题证明的格式，首先要根据题意画出图形，然后写已知求证。

⑵如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问题转化为如何判断一个角是直角。

⑶利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解决。

⑷先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边A1B1=c，则通过三边对应相等的两个三角形全等可证。

⑸先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，再探究理论证明方法。

充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理论学生更容易接受。

证明略。

通过让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，锻炼学生的动手操作能力，再通过探究理论证明方法，使实践上升到理论，提高学生的理性思维。

例3（补充）已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，a=n2-1.b=2n，c=n2+1（n 1）求证：∠C=90°。

分析：⑴运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断那条边最大。

②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值。

③判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。

⑵要证∠C=90°，只要证△ABC是直角三角形，并且c边最大。

根据勾股定理的逆定理只要证明a2+b2=c2即可。

⑶由于a2+b2=（n2-1）2+（2n）2=n4+2n2+1.c2=（n2+1）2= n4+2n2+1.从而a2+b2=c2.故命题获证。

本题目的在于使学生明确运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断那条边最大。

②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值。

③判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。

19、勾股定理的逆定理教案教学目标：一知识技能 1.理解勾股定理的逆定理的证明方法和证明过程； 2.掌握勾股定理的逆定理，并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形；二数学思考 1.通过勾股定理的逆定理的探索，经历知识的发生发展与形成的过程； 2.通过三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合法的应用。

三解决问题通过勾股定理的逆定理的证明及其应用，体会数形结合法在问题解决中的作用，并能运用勾股定理的逆定理解决相关问题。

四情感态度 1.通过三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐及辩证统一关系； 2.在探究勾股定理的逆定理的证明及应用的活动中，通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交流合作的意识和探究精神。

教学重难点：一重点：勾股定理的逆定理及其应用。

二难点：勾股定理的逆定理的证明。

教学方法启发引导分组讨论合作交流等。

教学媒体多媒体课件演示。

教学过程：一复习孕新，引入课题问题：（1）勾股定理的内容是什么？（2）求以线段ab为直角边的直角三角形的斜边c的长： ① a=3.b=4 ② a=2.5.b=6 ③ a=4.b=7.5 （3）分别以上述abc为边的三角形的形状会是什么样的呢？二动手实践，检验推测 1.把准备好的一根打了13个等距离结的绳子，按3个结4个结5个结的长度为边摆放成一个三角形，请观察并说出此三角形的形状？学生分组活动，动手操作，并在组内进行交流讨论的基础上，作出实践性预测。

教师深入小组参与活动，并帮助指导部分学生完成任务，得出勾股定理的逆命题。

在此基础上，介绍：古埃及和我国古代大禹治水都是用这种方法来确定直角的。

2.分别以2.5cm6cm6.5cm和4cm7.5cm8.5cm为三边画出两个三角形，请观察并说出此三角形的形状？ 3.结合三角形三边长度的平方关系，你能猜一猜三角形的三边长度与三角形的形状之间有怎样的关系吗？三探索归纳，证明猜想问题 1.三边长度分别为3 cm4 cm5 cm的三角形与以3 cm4 cm为直角边的直角三角形之间有什么关系？你是怎样得到的？ 2.你能证明以2.5cm6cm6.5cm和4cm7.5cm8.5cm为三边长的三角形是直角三角形吗？ 3.如图18.2-2.若△ABC的三边长满足，试证明△ABC是直角三角形，请简要地写出证明过程。

教师提出问题，并适时诱导，指导学生完成问题3的证明。

之后，归纳得出勾股定理的逆定理。

四尝试运用，熟悉定理问题 1例1：判断由线段组成的三角形是不是直角三角形：（1）（2） 2三角形的两边长分别为3和4.要使这个三角形是直角三角形，则第三条边长是多少？教师巡视，了解学生对知识的掌握情况。

特别关注学生在练习中反映出的问题，有针对性地讲解，学生能否熟练地应用勾股定理的逆定理去分析和解决问题五类比模仿，巩固新知 1.练习：练习题13. 2.思考：习题18.2第5题。

部分学生演板，剩余学生在课堂练习本上独立完成。

小结梳理，内化新知六1.小结：教师引导学生回忆本节课所学的知识。

2.作业：（1）必做题：习题18.2第1题（2）（4）和第3题；（2）选做题：习题18.2第46题。

20、勾股定理的逆定理教案一、例题的意图分析例1（P83例2）让学生养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。

例2（补充）培养学生利用方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。

二、课堂引入创设情境：在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而使用一些数学知识和数学方法。

三、例习题分析例1（P83例2）分析：⑴了解方位角，及方位名词； ⑵依题意画出图形； ⑶依题意可得PR=12×1.5=18.PQ=16×1.5=24.QR=30； ⑷因为242+182=302.PQ2+PR2=QR2.根据勾股定理的逆定理，知∠QPR=90°； ⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°。

小结：让学生养成已知三边求角，利用勾股定理的逆定理的意识。

例2（补充）一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。

解略。

四、课堂练习 1.小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。

小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是。

2.如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，则A、B、C三点能否构成直角三角形？为什么？ 3.如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。

已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向 21、勾股定理的逆定理教案一、教学目标 1.体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。

2.探究勾股定理的逆定理的证明方法。

3.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。

二、重点、难点 1.重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。

2.难点：勾股定理的逆定理的证明。

3.难点的突破方法：先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，再探究理论证明方法。

充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理论学生更容易接受。

为学生搭好台阶，扫清障碍。

⑴如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问题转化为如何判断一个角是直角。

⑵利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解决。

⑶先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边A1B1=c，则通过三边对应相等的两个三角形全等可证。

四、例习题分析例1（补充）说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？ ⑴同旁内角互补，两条直线平行。

⑵如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。

⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

⑷直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。

分析：⑴每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用。

⑵理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假。

解略。

本题意图在于使学生了解命题，逆命题，逆定理的概念，及它们之间的关系。

例2（P82探究）证明：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2.那么这个三角形是直角三角形。

分析：⑴注意命题证明的格式，首先要根据题意画出图形，然后写已知求证。

⑵如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问题转化为如何判断一个角是直角。

⑶利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解决。

⑷先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边A1B1=c，则通过三边对应相等的两个三角形全等可证。

⑸先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，再探究理论证明方法。

充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理论学生更容易接受。

证明略。

例3（补充）已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，a=n2-1.b=2n，c=n2+1（n 1）求证：∠C=90°。

分析：⑴运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断那条边最大。

②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值。

③判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。

⑵要证∠C=90°，只要证△ABC是直角三角形，并且c边最大。

根据勾股定理的逆定理只要证明a2+b2=c2即可。

⑶由于a2+b2=（n2-1）2+（2n）2=n4+2n2+1.c2=（n2+1）2= n4+2n2+1.从而a2+b2=c2.故命题获证。

本题目的在于使学生明确运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断那条边最大。

②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值。

③判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。

22、切线的判定定理教案【内容概述】证明圆的切线是近几年中考常见的数学问题之一。

最常用的是利用经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线证明。

本内容通过动手操作得出切线的判定定理，再利用解决两道例题，总结归纳出两种具体的证法： ①当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连结起来，证明直线垂直于这条半径，简称为连半径，证垂直； ②当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称为作垂直，证半径。

归纳总结后，马上给予两道对应练习题巩固理解两种证明方法。

【教学重难点】理解切线的判定方法，能选择正确的方法证明一条直线是圆的切线。

【教学目标】掌握判断圆的切线的方法，并灵活解题。

进一步培养使用分类与归纳等思想方法的能力。

【教学过程】一、复习引入平面内直线和圆存在着三种位置关系，即直线和圆相离、直线和圆相切、直线和圆相交，这三种位置关系中最重要的是直线和圆相切。

那么怎样证明直线和圆相切呢？怎样判定一条直线是圆的切线？ ⑴和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（定义） ⑵到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（d=r）除了这两种方法，还有没有其他方法判定一条直线是圆的切线呢？活动一：在练习本上画一个圆O，做一个半径OA，做一条直线L，使L经过点A且垂直于OA。

这样的直线能画几条？这条直线和圆是什么位置关系？为什么？你得到了什么结论？切线判定定理：经过直径的一端，且垂直于这条直径的直线是圆的切线。

活动二：分析定理。

经过直径的一端，且垂直于这条直径的直线是圆的切线。

这个定理有什么用？证明一条直线是圆的切线，那根据这个判定定理，要证明一条直线是圆的切线，需要几个条件？分别是什么？对定理的理解：①经过半径外端。

②垂直于这条半径。

定理中的两个条件缺一不可。

二、典型例题例1：如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，求证：直线AB是⊙O的切线。

证明：连结0C ∵0A=0B，CA=CB， ∴AB⊥OC。

∵直线AB经过半径0C的外端C，并且垂直于半径0C， ∴AB是⊙O的切线。

【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意经过半径的`外端和垂直于这条半径这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线。

例2：如图，P是∠BAC上的平分线上一点，PD⊥AC，垂足为D，请问AB与以P 为圆心、PD为半径的圆相切吗？为什么？证明：过P作PE⊥AB于E ∵AP平分∠BAC，PD⊥AC ∴PE=PD（角平分线上的点到角两边距离相等） ∴圆心P到AB的距离PE=PD=半径 ∴AB与圆相切【设计意图】通过例一和例二的解答，总结证明切线的两种添加辅助线的方法。

①当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连结起来，证明直线垂直于这条半径，简称为连半径，证垂直； ②当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称为作垂直，证半径。

三、知识应用（练习） 1、如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，弦AC平分∠EAB。

求证：DE是⊙O的切线。

[分析]：因直线DE与⊙O有公共点C，故应采用连半径，证垂直的方法。

证明：连接OC，则OA=OC， ∴∠CAO=∠ACO（等边对等角） ∵AC平分∠EAB（已知） ∴∠EAC=∠CAO（角平分线的定义） ∴∠EAC=∠ACO（等量代换） ∴AE∥CO，（内错角相等，两直线平行）又AE⊥DE， ∴CO⊥DC， ∴DE是⊙O的切线。

【评析】本题综合运用了圆的切线的性质与判定定理。

一定要注意区分这两个定理的题设与结论，注意在什么情况下可以用切线的性质定理，在什么情况下可以用切线的判定定理。

希望同学们通过本题对这两个定理有进一步的认识。

本题若作OC⊥CD，就判断出了CD与⊙O相切，这是错误的。

这样做相当于还未探究、判断，就以经得出了结论，显然是错误的。

2、如图，已知在△ABC中，CD是AB上的高，且CD=AB，E、F分别是AC、 BC的中点，求证：以EF为直径的⊙O 与AB 相切。

[分析]：因直线AB与⊙O无确定的公共点，故应采用作垂直，证半径方法。

证明：过O点作OH⊥AB于H ∵E、F分别为AC、BC的中点（已知） ∴EF∥AB，且EF=AB（三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半） ∴G点为CD的中点，OH=GD=CD ∵CD=AB ∴EF=CD ∴OH=EF ∴AB为⊙O的切线四、小结升华本节课里，你学到了哪些知识，它们是如何应用的？证明切线的方法：（1）直线和圆有交点时，连半径，证垂直；（2）直线和圆无确定交点时，作垂直，证半径。

【设计意图】让学生自己通过这节课的学习归纳总结出本知识点，即判断直线与圆相切的方法以及二种添加辅助线的方法。

23、勾股定理教案一等奖教学目标 1、知识与技能目标学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念。

2、过程与方法（1）经历一般规律的'探索过程，发展学生的抽象思维能力。

（2）在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想。

3、情感态度与价值观（1）通过有趣的问题提高学习数学的兴趣。

（2）在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性。

教学重点：探索、发现事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际问题。

教学难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题。

教学准备：多媒体教学过程：第一环节：创设情境，引入新课（3分钟，学生观察、猜想）情景：如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？第二环节：合作探究（15分钟，学生分组合作探究）学生分为4人活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线。

让学生发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究蚂蚁怎么走最近就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的方法：建立数学模型，构图，计算。

第三环节：做一做（7分钟，学生合作探究）教材23页李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺。

（1）你能替他想办法完成任务吗？（2）李叔叔量得AD长是30厘米，AB长是40厘米，BD长是50厘米，AD边垂直于AB边吗？为什么？（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？第四环节：巩固练习（10分钟，学生独立完成） 1.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6/h的速度向正东行走，1小时后乙出发，他以5/h的速度向正北行走。

上午10：00. 甲、乙两人相距多远？ 2.如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离。

3.有一个高为1、5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0、5米，问这根铁棒有多长？第五环节课堂小结（3分钟，师生问答）内容：如何利用勾股定理及逆定理解决最短路程问题？第六环节：布置作业（2分钟，学生分别记录）作业：1.课本习题1.5第1.2.3题。

要求：A组（学优生）：1、2、3 B组（中等生）：1、2 C组（后三分之一生）：1 24、勾股定理教案一等奖教学目标： 1、知识目标：（1）掌握勾股定理；（2）学会利用勾股定理进行计算、证明与作图；（3）了解有关勾股定理的历史。

2、能力目标：（1）在定理的证明中培养学生的拼图能力；（2）通过问题的解决，提高学生的运算能力 3、情感目标：（1）通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受；（2）通过有关勾股定理的历史讲解，对学生进行德育教育。

教学重点：勾股定理及其应用教学难点：通过有关勾股定理的历史讲解，对学生进行德育教育。

教学用具：直尺，微机教学方法：以学生为主体的讨论探索法教学过程： 1、新课背景知识复习（1）三角形的三边关系（2）问题：（投影显示）直角三角形的三边关系，除了满足一般关系外，还有另外的特殊关系吗？ 2、定理的获得让学生用文字语言将上述问题表述出来。

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

强调说明：（1）勾――最短的边、股――较长的直角边、弦――斜边（2）学生根据上述学习，提出自己的问题（待定）学习完一个重要知识点，给学生留有一定的时间和机会，提出问题，然后大家共同分析讨论。

3、定理的证明方法方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图1所示的正方形。

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图2所示的正方形。

方法三：总统法、如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形。

以上证明方法都由学生先分组讨论获得，教师只做指导、最后总结说明 4、定理与逆定理的应用 5、课堂小结：（1）勾股定理的内容（2）勾股定理的作用已知直角三角形的两边求第三边已知直角三角形的一边，求另两边的关系 6、布置作业： a、书面作业P130#1、2、3 b、上交作业P132#1、3 25、勾股定理教案一等奖一、教学目标 1.体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。

2.探究勾股定理的逆定理的证明方法。

3.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。

二、重点、难点 1.重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。

2.难点：勾股定理的逆定理的证明。

3.难点的突破方法：先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，再探究理论证明方法。

充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理论学生更容易接受。

为学生搭好台阶，扫清障碍。

⑴如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问题转化为如何判断一个角是直角。

⑵利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解决。

⑶先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边A1B1=c，则通过三边对应相等的两个三角形全等可证。

三、课堂引入创设情境： ⑴怎样判定一个三角形是等腰三角形？ ⑵怎样判定一个三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定进行对比，从勾股定理的逆命题进行猜想。

四、例习题分析例1（补充）说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？ ⑴同旁内角互补，两条直线平行。